Другие журналы

научное издание МГТУ им. Н.Э. Баумана

НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

Издатель ФГБОУ ВПО "МГТУ им. Н.Э. Баумана". Эл № ФС 77 - 48211.  ISSN 1994-0408

Оценка параметра степенной модели Лемана-Кокса методом минимизации функционалов типа Колмогорова-Смирнова и Сэвиджа

# 07, июль 2012
DOI: 10.7463/0712.0410885
Файл статьи: Тимонин_P.pdf (264.23Кб)
авторы: Тимонин В. И., Ермолаева М. А.

УДК. 519.22

Россия, МГТУ им. Н.Э. Баумана

timoninmgtu52@mail.ru

ermolaevama@yandex.ru

1. Введение. Для оценки результатов различных экспериментов в науке и технике широко используется непараметрическая степенная модель Кокса-Лемана [1]. Суть модели заключается в том, что функции распределения различных выборок связаны степенной зависимостью, причем показатель степени есть функция от различных факторов эксперимента. Разработаны методы оценки параметров регрессионных зависимостей этого показателя. Вместе с тем отсутствуют методы проверки справедливости самой степенной модели Кокса-Лемана, что часто ставит под сомнение адекватность получаемых статистических выводов. В настоящей работе приводятся два возможных способа проверки адекватности модели Кокса-Лемана. Методом Монте-Карло сравнивается качество оценок, полученных предложенными способами.

Задача формулируется как задача теории надежности, однако, при соответствующем изменении терминологии, результаты могут быть использованы  для анализа результатов биологических, социологических и других экспериментов.

2. Постановка задачи. Пусть проводятся испытания двух выборок изделий в различных режимах  и . Обозначим  – моменты отказов в режимах  и  соответственно, причем . Здесь  – функции распределения наработок до отказа в этих режимах. В дальнейшем предполагается, что для  выполняется либо соотношение

,                               (1)

либо

.                              (2)

Показатель степени  неизвестен и подлежит оценке.

Обе модели относятся к моделям Кокса – Лемана [1]. В работе анализируется случай, когда справедлива первая модель. Вторая модель сводится к первой простым переходом от случайных величин  к величинам .

Введем некоторые обозначения. Пусть  – объединенный вариационный ряд из элементов . Определим 2 вектора:  и  по правилу:

, .

Очевидно, что вектор  состоит из  единиц и  нулей. Их общее количество равно числу . Для величин  справедливо неравенство .

В дальнейшем без ограничения общности будем считать, что .

Лемма 1. (Сэвидж, [2]). Пусть справедливо (1). Тогда вероятность  имеет вид

.                                 (3)

Обычно параметр  оценивают методом максимального правдоподобия, то есть максимизируют по  вероятность (3). Элементарно можно получить уравнение, которому удовлетворяет оценка :

.                                                      (4)

Дело, однако, заключается в том, что при небольших объемах выборок с ненулевой вероятностью решение (4) – отрицательно, что невозможно. Другими словами, оценка максимального правдоподобия дает качественно неверные результаты.

3. Описание предлагаемых методов. Рассмотрим две оценки параметра , основанные на минимизации двух различных функционалов. Эти оценки будут лишены указанного выше недостатка. Кроме того, они позволяют проверить адекватность самой степенной модели Кокса-Лемана.

В работах [3,4] были предложены два критерия проверки статистической гипотезы вида

,                              (5)

где  – известное фиксированное число.

Первый из них является критерием типа Колмогорова-Смирнова со статистикой [3]

,                 (6)

где  – эмпирические функции распределения выборок ;  – объединенная оценка функции распределения.

Второй критерий является локально наиболее мощным критерием проверки (5) против альтернатив вида ,  [4]. Его статистика имеет вид

.                                              (7)

Если параметр  неизвестен, то в качестве оценок  предлагается брать величины, минимизирующие  и . Другими словами, рассматриваются оценки

, .

Здесь  – соответственно математическое ожидание и дисперсия статистики , которые требуют определения. Дело в том, что в работе [4], где была введена статистика , были разработаны лишь итерационные методы вычисления точных вероятностей . Однако они становятся бесполезными уже при , так как множество значений  растет пропорционально .

Утверждение. Среднее и дисперсия  имеют вид

. (8)

Кроме того, дисперсия  может быть вычислена через рекуррентное соотношение с заданными начальными и граничными условиями

           (9)

Доказательство. Дифференцируя по  обе части тождества , имеем . Отсюда следует выражение для . Дифференцируя второй раз, аналогичным образом получим выражение

.

Отсюда следует, что .

Прямым вычислением математического ожидания суммы в правой части нетрудно получить интегральное представление для . Рекуррентное соотношение (9) является следствием интегрального представления.

Адекватность модели проверяется следующим образом. Пусть  и   - найденные оценки, полученные минимизацией ,  соответственно. Тогда можно проверить гипотезу (5) с помощью статистик - при ,  и  при . Если гипотеза (5) отвергается хотя бы одним из предложенных критериев, то модель Кокса-Лемана  - неадекватна.

4. Сравнение оценок методом Монте-Карло. Было проведено обширное статистическое моделирование для сравнения свойств оценок, полученных минимизацией этих двух статистик – , . В качестве примера приведем результаты моделирования, когда истинное значение , функция распределения .

 Моделировались выборки  одинакового объема, чьи функции распределения удовлетворяют (1) при . По этим двум выборкам вычислялись оценки  параметра . Процедура повторялась 500 раз. По полученным реализациям строились гистограммы распределения оценок для обоих методов оценки, а также вычислялись средние значения оценок коэффициентов и значения дисперсий оценок.

На рисунках 1, 2 показаны гистограммы оценок  для объемов выборок . Для них ;

На рисунках 3, 4 показаны гистограммы оценок  для объемов выборок . Для них ;

Анализ результатов моделирования показал безусловное преимущество оценок, полученных минимизацией статистики  перед оценками, полученными минимизацией статистики  в том случае, если соотношение (1) справедливо при каком-то значении . Смещение и разброс оценки  всегда меньше смещения и разброса оценки . Вместе с тем при небольших объемах выборок, обе эти оценки имеют значительное систематическое смещение. По этой причине следует пользоваться поправочными коэффициентами, которые также можно рассчитать методом Монте-Карло.

Рис. 1. Гистограмма  для =2, m=n=30.

Рис. 2. Гистограмма  для =2, m=n=30.

Рис.3. Гистограмма  для =2, m=n=50.

Рис.4. Гистограмма  для =2, m=n=50.

Заключение. Предложены два метода оценки параметра степенной модели Кокса-Лемана, позволяющие проверять адекватность этой модели. Показано, что если модель верна, то одна из оценок всегда «лучше» другой. Вместе с тем, авторы считают, что следует всегда использовать оба метода, так как использование статистики   необходимо для проверки адекватности модели, а статистики  - для оценки параметра модели.

Список использованной литературы

1.      Кокс Д., Оукс Д. Анализ данных типа времени жизни. М.: Финансы и статистика. 1988. 191с.

2.     Savage R. Contributions to the Theory of Rank Order Statistics – the Two – Sample Case // Ann. Math. Stat. 1956. V.27.  № 3. P. 590 –615.

3.     Тимонин В.И. О предельном распределении статистики одного непараметрического критерия. // Теория вероятностей и ее применение. 1987. Т. 32.  №4.  С. 790-792.

4.     Тимонин В.И. Об одном локально наиболее мощном ранговом критерии// Вероятностные процессы и их приложения. М.: МИЭМ. 1983. С. 74-80.

Поделиться:
 
ПОИСК
 
elibrary crossref ulrichsweb neicon rusycon
 
ЮБИЛЕИ
ФОТОРЕПОРТАЖИ
 
СОБЫТИЯ
 
НОВОСТНАЯ ЛЕНТА



Авторы
Пресс-релизы
Библиотека
Конференции
Выставки
О проекте
Rambler's Top100
Телефон: +7 (915) 336-07-65 (строго: среда; пятница c 11-00 до 17-00)
  RSS
© 2003-2018 «Наука и образование»
Перепечатка материалов журнала без согласования с редакцией запрещена
 Тел.: +7 (915) 336-07-65 (строго: среда; пятница c 11-00 до 17-00)