Другие журналы

научное издание МГТУ им. Н.Э. Баумана

НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

Издатель ФГБОУ ВПО "МГТУ им. Н.Э. Баумана". Эл № ФС 77 - 48211.  ISSN 1994-0408

Бертрановские системы и их фазовое пространство

# 12, декабрь 2014
DOI: 10.7463/1214.0751785
Файл статьи: SE-BMSTU...o386.pdf (494.54Кб)
автор: Загрядский О. А.

УДК 514.853

Россия,  МГТУ им. Н.Э. Баумана

МГУ им. М.В. Ломоносова

Рассмотрим пару (S, V), где S – некоторая двумерная поверхность вращения без экваторов, т.е.  цилиндр с римановой метрикой вращения, V – центральный потенциал на S, т.е. выдерживающий действие группы вращения.  Также вместе с S рассматриваются поверхности с псевдоримановой метрикой вращения. Среди таких пар выделяется класс Бертрановских пар – таких, у которых потенциал V является замыкающим, т.е. при движении по поверхности S под действием данного потенциала все ограниченные орбиты будут замкнуты.  Такие динамические системы являются гамильтоновыми с четырёхмерным фазовым пространством, а Бертрановские пары являются пятипараметрическим множеством, где три параметра определяют метрику поверхности, а два – потенциал. Соответственно замыкающими потенциалами могут быть только обобщённый закон всемирного тяготения или обобщённый осцилляторный закон Гука.
Доказано, что в случае замкнутой орбиты период движения по ней будет зависеть от полной энергии (что иллюстрирует известную теорему Гордона), но не будет зависеть от кинетического момента, также установлен явный вид этой зависимости. Для неограниченных орбит установлено проходится ли вся траектория за конечное время или за бесконечное, на основании чего установлено являются ли соответствующие данным траекториям фазовые потоки полными, т.е. продолжается ли до бесконечности естественный параметр на интегральных линиях гамильтонова векторного поля интеграла энергии.
Показано, что Бертрановские системы с псевдоримановой метрикой вращения не являются вполне интегрируемыми по Лиувиллю, однако связные компоненты регулярных слоёв Лиувилля остаются торами или цилиндрами для первых интегралов полной энергии и кинетического момента.  Показано, что произвольный слой указанного слоения может быть окружностью, тором, цилиндром, парой цилиндров. Построены бифуркационные диаграммы отображения момента, данные диаграммы разбиты на зоны, показывающие при каком значении первых интегралов какой вид имеет слой слоения Лиувилля, а также полны ли соответствующие фазовые потоки на нём.

Список литературы
  1. Gordon W.B. On the relation between period and energy in periodic dynamical systems // J. Math. Mech. 1969. Vol. 19. P. 111-114.
  2. Ballesteros A., Enciso A., Herranz F.J., Ragnisco O. Hamiltonian systems admitting a Runge — Lenz vector and an optimal extension of Bertrand's theorem to curved manifolds // Commun. Math. Phys. 2009. Vol.   290 , no. 3 . P.   1033-1049. DOI: 10.1007/s00220-009-0793-5
  3. Козлов   В.В. О динамике в пространствах постоянной кривизны // Вестник Московского университета. Сер 1. Математика . Механика . 1994. № 2. C. 28-35.
  4. Santoprete M. Gravitational and harmonic oscillator potentials on surfaces of revolution // J. Math. Phys. 2008. Vol.   49, no.   4. Art. no.   042903 (16   p.). DOI: 10.1063/1.2912325
  5. Загрядский О.А., Кудрявцева Е.А., Федосеев Д.А. Обобщение теоремы Бертрана на поверхности вращения // Математический сборник. 2012. Т. 203, № 8. С. 39-78.
  6. Загрядский О.А., Федосеев Д.А. О явном виде метрик Бертрана // Вестник Московского университета. Сер 1. Математика. Механика. 2013. № 5. С . 46-50.
  7. Загрядский О.А. Обобщение теоремы Бертрана на поверхности вращения с псевдоримановой метрикой // Вестник Московского университета. Сер 1. Математика. Механика. (в печати).
  8. Fomenko A.T., Konyaev A.Yu. Algebra and Geometry through Hamiltonian Systems // In: Continuous and Distributed Systems. Theory and Applications / Zgurovsky V.Z., Sadovnichiy V.A., eds. Springer International Publishing, 2014. P. 3-21. (Ser. Solid Mechanics and Its Applications; vol. 211). DOI: 10.1007/978-3-319-03146-0_1
  9. Алешкин К.Р. Топология интегрируемых систем с неполными полями // Математический сборник. 2014. Т . 205, № 9. P. 49-64.
  10. Болсинов А.В., Фоменко А.Т. Интегрируемые гамильтоновы системы. Ижевск: Удмуртский ун-т, 1999.
Поделиться:
 
ПОИСК
 
elibrary crossref ulrichsweb neicon rusycon
 
ЮБИЛЕИ
ФОТОРЕПОРТАЖИ
 
СОБЫТИЯ
 
НОВОСТНАЯ ЛЕНТА



Авторы
Пресс-релизы
Библиотека
Конференции
Выставки
О проекте
Rambler's Top100
Телефон: +7 (915) 336-07-65 (строго: среда; пятница c 11-00 до 17-00)
  RSS
© 2003-2017 «Наука и образование»
Перепечатка материалов журнала без согласования с редакцией запрещена
 Тел.: +7 (915) 336-07-65 (строго: среда; пятница c 11-00 до 17-00)